Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPmùi hương pháp Toán thù Lý (PT Đạo hàm riêng biệt và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1. Khái niệm ma trận nghịch hòn đảo (matrix inversion):

1.1 Định nghĩa 1:

Ma trận vuông I cung cấp n được điện thoại tư vấn là ma trận đơn vị trường hợp A.I = I.A = A, với tất cả ma trận vuông A cấp cho n

Ta nhận biết ma trận bên trên là vĩnh cửu. Thật vậy, ma trận thỏa điều kiện bên trên tất cả dạng sau:


*
" data-medium-file="https://lichgo.vn.files.lichgo.vn.com/2008/10/mtnd1.jpg?w=173" data-large-file="https://lichgo.vn.files.lichgo.vn.com/2008/10/mtnd1.jpg?w=173" class="size-full wp-image-1098" title="mtnd1" src="https://lichgo.vn.files.lichgo.vn.com/2008/10/mtnd1.jpg?w=750" alt="Ma tr�n đơn vị cấp cho n" srcset="https://lichgo.vn.files.lichgo.vn.com/2008/10/mtnd1.jpg 173w, https://lichgo.vn.files.lichgo.vn.com/2008/10/mtnd1.jpg?w=150 150w" sizes="(max-width: 173px) 100vw, 173px" />Ma trận đơn vị chức năng cấp cho n


Dường như, ma trận đơn vị là nhất. Thật vậy, giả sử có nhì ma trận đơn vị chức năng I cùng I’. Ta có:

Vì I là ma trận đơn vị chức năng phải I.I’ = I’.I = I’

và I’ là ma trận đơn vị đề nghị I’.I = I.I’ = I

Vậy: I = I’

1.2 Định nghĩa 2:

Cho A là một trong ma trận vuông cấp cho n bên trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, ví như sống thọ một ma trận B vuông cung cấp n bên trên K sao cho: A.B = B.A = In. Lúc đó, B được Call là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A-1.

Bạn đang xem: Ma trận khả nghịch là gì

Như vậy: A.A-1= A-1.A= In

1.3 Nhận xét:

1. Ma trận nghịch hòn đảo là độc nhất, bởi mang sử lâu dài ma trận C vuông cấp n cũng chính là ma trận nghịch đảo của A. Ta có: A.C = C.A = In , thì: B = B.In = B(A.C) = (B.A).C = In.C = C

2. Hiển nhiên: (A-1)-1= A, tức là A lại là ma trận nghịch hòn đảo của A-1

3. Trong giáo trình này, ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông. Tuy nhiên, bây chừ, có tương đối nhiều giáo trình quốc tế đã đề cùa đến khái niệm khả nghịch của ma trận bất kỳ.

Thật vậy, mang đến A là ma trận cấp cho m x n trên trường số K. khi đó, ta bảo A là khả nghịch trái giả dụ lâu dài ma trận L cấp n x m sao cho: L.A = In.; A là khả nghịch phải ví như sống thọ ma trận R cấp n x m sao cho: A.R = Im. Và khi đó, đương nhiên A khả nghịch ví như A khả nghịch trái với khả nghịch đề nghị.

4. Ma trận đơn vị là khả nghịch, Ma trận ko ko khả nghịch.

5. Tập phù hợp những ma trận vuông cấp n trên K khả nghịch, được ký kết hiệu là GLn(K).

1.4 Các ví dụ:

Xét những ma trận vuông thực, cung cấp 2 sau đây:

*

Ta có: A.B = B.A = I2. Do đó: A, B là khả nghịch với A là nghịch đảo của B; B là nghịch đảo của A

Ma trận C ko khả nghịch vị với tất cả ma trận vuông cấp cho 2 ta hầu hết có:

*
Nhận xét: Ma trận có ít nhất 1 chiếc ko (hoặc cột không) hầu hết không khả nghịch.

Xem thêm: Scripting Là Gì ? Sự Khác Biệt So Với Ngôn Ngữ Lập Trình Script Là Gì

2. Tính chất:

1. Nếu A, B là khả nghịch thì ma trận tích AB là khả nghịch cùng (AB)-1= B-1. A-1

2. Nếu A khả nghịch thì ATkhả nghịch với (AT)-1= (A-1)T

(Bạn hãy thừ minh chứng hiệu quả bên trên nhé)

3. Mối tình dục thân ma trận khả nghịch và ma trận sơ cấp:

3.1 Ma trận sơ cấp: Ma trận E vuông cấp cho n bên trên K (n ≥ 2) được Call là ma trận sơ cung cấp dòng (cột) giả dụ E chiếm được trường đoản cú ma trận đơn vị In bời đúng 1 phép biến đổi sơ cấp dòng (cột). Các ma trận sơ cung cấp mẫu tuyệt cột call thông thường là ma trận sơ cấp.

3.2 Tính chất: Mọi ma trận sơ cấp cho mẫu (xuất xắc cột) phần đông khả nghịch với nghịch đảo của này lại là một trong ma trận sơ cung cấp chiếc.

Ta hoàn toàn có thể đánh giá trực tiếp kết quả bên trên bằng thực nghiệm:

Ma trận sơ cấp dạng 1: nhân 1 cái của ma trận đơn vị chức năng cùng với α ≠ 0


*
" data-medium-file="https://lichgo.vn.files.lichgo.vn.com/2008/10/mtnd4.jpg?w=300" data-large-file="https://lichgo.vn.files.lichgo.vn.com/2008/10/mtnd4.jpg?w=542" class="size-full wp-image-1109" title="mtnd4" src="https://lichgo.vn.files.lichgo.vn.com/2008/10/mtnd4.jpg?w=750" alt="Ma tr�n sơ cấp dạng 1" srcset="https://lichgo.vn.files.lichgo.vn.com/2008/10/mtnd4.jpg 542w, https://lichgo.vn.files.lichgo.vn.com/2008/10/mtnd4.jpg?w=150 150w, https://lichgo.vn.files.lichgo.vn.com/2008/10/mtnd4.jpg?w=300 300w" sizes="(max-width: 542px) 100vw, 542px" />Ma trận sơ cấp cho dạng 1


*
" data-medium-file="https://lichgo.vn.files.lichgo.vn.com/2008/10/mtnd5.jpg?w=300" data-large-file="https://lichgo.vn.files.lichgo.vn.com/2008/10/mtnd5.jpg?w=524" class="size-full wp-image-1110" title="mtnd5" src="https://lichgo.vn.files.lichgo.vn.com/2008/10/mtnd5.jpg?w=750" alt="Ma tr�n sơ cung cấp dạng 2" srcset="https://lichgo.vn.files.lichgo.vn.com/2008/10/mtnd5.jpg 524w, https://lichgo.vn.files.lichgo.vn.com/2008/10/mtnd5.jpg?w=150 150w, https://lichgo.vn.files.lichgo.vn.com/2008/10/mtnd5.jpg?w=300 300w" sizes="(max-width: 524px) 100vw, 524px" />Ma trận sơ cấp cho dạng 2


*
" data-medium-file="https://lichgo.vn.files.lichgo.vn.com/2008/10/mtnd6.jpg?w=300" data-large-file="https://lichgo.vn.files.lichgo.vn.com/2008/10/mtnd6.jpg?w=326" class="size-full wp-image-1112" title="mtnd6" src="https://lichgo.vn.files.lichgo.vn.com/2008/10/mtnd6.jpg?w=750" alt="Ma tr�n sơ cấp dạng 3" srcset="https://lichgo.vn.files.lichgo.vn.com/2008/10/mtnd6.jpg 326w, https://lichgo.vn.files.lichgo.vn.com/2008/10/mtnd6.jpg?w=150 150w, https://lichgo.vn.files.lichgo.vn.com/2008/10/mtnd6.jpg?w=300 300w" sizes="(max-width: 326px) 100vw, 326px" />Ma trận sơ cấp dạng 3


3.3 Định lý:

Cho A là ma trận vuông cung cấp n bên trên K (n ≥ 2). lúc đó, các khẳng định sau đấy là tương đương:

1. A khả nghịch

2. In cảm nhận từ A bởi một trong những hữu hạn các phnghiền biến đổi sơ cấp cái (cột)

3. A là tích của một số hữu hạn các ma trận sơ cấp

(Quý khách hàng phát âm có thể xem minh chứng định lý này trong ca1c giáo trình về ĐSTT)

3.4 Hệ quả:

Cho A là ma trận vuông cấp n bên trên K (n ≥ 2). Lúc đó, những xác minh sau đấy là tương đương:

1. A khả nghịch Khi và chỉ lúc dạng bao gồm tắc của A là In

2. Nếu A khả nghịch thì In cảm nhận từ A vì chưng một trong những hữu hạn các phnghiền thay đổi sơ cấp chiếc (cột); đôi khi, chính hàng những phxay thay đổi sơ cấp dòng (cột) đó sẽ biến chuyển In thành nghịch hòn đảo của ma trận A.

4. Thuật toán thù Gausβ – Jordan tra cứu ma trận nghịch hòn đảo bằng phép thay đổi sơ cấp:

Ta áp dụng thuật toán thù Gausβ – Jordan để tra cứu nghịch đảo (giả dụ có)của ma trận A vuông cấp n bên trên K. Thuật tân oán này được gây ra phụ thuộc công dụng thứ 2 của hệ trái 3.4. Ta thực hiện các bước sau đây

Bước 1: lập ma trận n mặt hàng, 2n cột bằng cách ghép thêm ma trận đơn vị chức năng cấp n I vào mặt phải ma trận A


*
" data-medium-file="https://lichgo.vn.files.lichgo.vn.com/2008/10/mtnd7.jpg?w=300" data-large-file="https://lichgo.vn.files.lichgo.vn.com/2008/10/mtnd7.jpg?w=333" class="size-full wp-image-1115" title="mtnd7" src="https://lichgo.vn.files.lichgo.vn.com/2008/10/mtnd7.jpg?w=750" alt="L�p ma tr�n chi khối hận cấp cho n x 2n" srcset="https://lichgo.vn.files.lichgo.vn.com/2008/10/mtnd7.jpg 333w, https://lichgo.vn.files.lichgo.vn.com/2008/10/mtnd7.jpg?w=150 150w, https://lichgo.vn.files.lichgo.vn.com/2008/10/mtnd7.jpg?w=300 300w" sizes="(max-width: 333px) 100vw, 333px" />Lập ma trận bỏ ra khối hận cấp n x 2n


Cách 2: Dùng các phxay thay đổi sơ cấp cho dòng để đưa < A|I > về dạng < A’ | B >, trong những số đó A’ là 1 trong những ma trận bậc thang thiết yếu tắc.

– Nếu A’ = In thì A khả nghịch cùng A-1 = B

– Nếu A’ ≠ In thì A ko khả nghịch. Nghĩa là, trong quy trình thay đổi nếu như A’ mở ra tối thiểu 1 dòng ko thì chớp nhoáng Tóm lại A ko khả nghịch (không nhất thiết phải chuyển A’ về dạng chủ yếu tắc) với xong xuôi thuật toán.

ví dụ như minc họa: Sử dụng thuật toán thù Gausβ – Jordan nhằm tìm kiếm ma trận nghịch hòn đảo của: